Sådan beregnes arealet af et parallelogram bygget på vektorer
På alle to ikke-kollinære og ikke-nul-vektorer kan der konstrueres et parallelogram. Disse to vektorer kontraherer et parallelogram, hvis du kombinerer deres oprindelse på et tidspunkt. Afslut siderne på figuren.
Brugsanvisning
1
Find vektorernes længder, hvis deres koordinater er angivet. Lad for eksempel vektoren A have koordinater (a1, a2) i planet. Derefter er længden på vektoren A | A | = √ (a1² + a2²). Tilsvarende finder vi modulet for vektoren B: | B | = √ (b1² + b2²), hvor b1 og b2 er koordinaterne for vektoren B på planet.
2
Parallellogramområdet findes med formlen S = | A | • | B | • sin (A ^ B), hvor A ^ B er vinklen mellem de givne vektorer A og B. Sinusen kan findes gennem kosinus ved hjælp af den vigtigste trigonometriske identitet: sin²α + cos²α = 1. Kosinus kan udtrykkes i form af det skalære produkt af vektorer skrevet i koordinater.
3
Det skalære produkt af en vektor A med en vektor B er betegnet med (A, B). Per definition er den lig med (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Og i koordinater er det skalære produkt skrevet sådan: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Herfra kan vi udtrykke kosinus for vinklen mellem vektorerne: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). I tælleren, det skalære produkt; i nævneren, vektorernes længder.
4
Nu kan vi udtrykke sinussen fra den vigtigste trigonometriske identitet: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Hvis vi antager, at vinklen α mellem vektorerne er akut, kan minus med sinusen kasseres, hvilket kun efterlader plustegnet, da sinussen på den spidse vinkel kun kan være positiv (eller nul ved nulvinklen, men her er vinklen ikke-nul, vises dette i tilstanden ikke-kollinearitet af vektorer).
5
Nu er vi nødt til at erstatte koordinatudtrykket med kosinus i sinusformlen. Efter dette forbliver det kun at skrive resultatet i parallelogramområdet formel. Hvis alt dette er gjort, og det numeriske udtryk forenkles, viser det sig, at S = a1 • b2-a2 • b1. Arealet af parallelogrammet konstrueret på vektorerne A (a1, a2) og B (b1, b2) findes således med formlen S = a1 • b2-a2 • b1.
6
Den resulterende ekspression er determinanten af matrixen sammensat af koordinaterne for vektorerne A og B: a1 a2b1 b2.
7
For at opnå en determinant for en matrix med dimension to, er vi nødt til at multiplicere elementerne i hoveddiagonalen (a1, b2) og trække fra dette produkt af elementerne i sidedelonen (a2, b1).