Sådan løses ligninger med rødder

Nogle gange er der i ligningerne et tegn på roden. Det forekommer for mange studerende, at det er meget vanskeligt at løse sådanne ligninger “med rødder” eller mere korrekt sagt irrationelle ligninger, men det er ikke sådan.

Brugsanvisning

1

I modsætning til andre typer ligninger, for eksempel kvadratiske eller lineære ligningssystemer, er der ingen standardalgoritme til at løse ligninger med rødder eller mere præcist irrationelle ligninger. I hvert særligt tilfælde er det nødvendigt at vælge den mest passende opløsningsmetode baseret på ligningens "udseende" og egenskaber.

At hæve dele af ligningen i samme grad.

Oftest bruges hævningen af ​​begge sider af ligningen til samme grad for at løse ligninger med rødder (irrationelle ligninger). Som regel i en grad, der svarer til graden af ​​roden (kvadrat for kvadratrod, terning for kubisk rod). Det skal huskes, at når han hæver venstre og højre side af ligningen i en jævn grad, kan han have "ekstra" rødder. Derfor bør man i dette tilfælde kontrollere de opnåede rødder ved at erstatte dem i ligningen. Særlig opmærksomhed ved løsning af ligninger med kvadratiske (lige) rødder bør gives til intervallet af tilladte værdier for variablen (ODZ). Nogle gange er estimeringen af ​​ODL alene nok til at løse eller signifikant forenkle ligningen.

Et eksempel. Løs ligningen:

√ (5x-16) = x-2

Vi kvadrater begge sider af ligningen:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², hvorfra vi successivt får:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h-9x + 20 = 0

Ved at løse den opnåede kvadratiske ligning finder vi dens rødder:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Ved at erstatte begge fundne rødder i den oprindelige ligning opnår vi den rigtige lighed. Derfor er begge tal løsninger af ligningen.

2

Metode til introduktion af en ny variabel.

Nogle gange er det mere praktisk at finde rødderne til en "ligning med rødder" (en irrationel ligning) ved at introducere nye variabler. Faktisk reduceres essensen af ​​denne metode til en mere kompakt løsning, dvs. i stedet for at skrive et voluminøst udtryk hver gang, erstattes det af en legende.

Et eksempel. Løs ligningen: 2x + √x-3 = 0

Du kan løse denne ligning ved at kvadrere begge sider. Beregningerne i sig selv vil se temmelig besværlige ud. Med introduktionen af ​​en ny variabel vil beslutningsprocessen vise sig at være meget mere elegant:

Vi introducerer en ny variabel: y = √ x

Så får vi den almindelige kvadratiske ligning:

2y² + y-3 = 0, med variabel y.

Løsning af den resulterende ligning finder vi to rødder:

y1 = 1 og y2 = -3 / 2, ved at erstatte de fundne rødder i udtrykket med den nye variabel (y), får vi:

√ x = 1 og √ x = -3 / 2.

Da kvadratrotværdien ikke kan være et negativt tal (hvis du ikke berører området med komplekse tal), får vi den eneste løsning:

x = 1.

firkantet rodløsning