Sådan løses ligningssystemer

Det er ikke vanskeligt at løse ligningssystemet ved at bruge de grundlæggende metoder til at løse systemer med lineære ligninger: substitutionsmetoden og additionsmetoden.

Brugsanvisning

1

Lad os overveje metoder til løsning af et ligningssystem ved hjælp af et eksempel på et system med to lineære ligninger med to ukendte værdier. Generelt er et sådant system skrevet som følger (til venstre kombineres ligningerne med en krøllet beslag):

øks + b = c

dx + ey = f, hvor

a, b, c, d, e, f er koefficienterne (specifikke tal), og x og y er som sædvanligt ukendte. Talene a, b, c, d kaldes koefficienterne for ukendte, og c og f kaldes frie udtryk. Løsningen på et sådant ligningssystem findes ved to hovedmetoder.

Løsning af et ligningssystem ved hjælp af substitutionsmetoden.

1. Vi tager den første ligning og udtrykker en af ​​de ukendte (x) med hensyn til koefficienter og den anden ukendte (y):

x = (s-by) / a

2. Indsæt udtrykket opnået for x i den anden ligning:

d (c-by) / a + ey = f

3. Ved at løse den resulterende ligning finder vi udtrykket for y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Indsæt det resulterende udtryk for y i udtrykket for x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Eksempel: du skal løse et system med ligninger:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Find værdien af ​​x fra den første ligning:

x = (2y + 4) / 3

Udskift det resulterende udtryk i den anden ligning og få en ligning med en variabel (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, hvorfra vi får:

y = 1

Nu erstatter vi den fundne værdi af y i udtrykket for variablen x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Svar: x = 2, y = 1.

2

Opløsningen af ​​ligningssystemet ved hjælp af tilsætningsmetoden (subtraktion).

Denne metode reducerer til at multiplicere begge sider af ligningerne med tal (parametre), således at koefficienterne for en af ​​variablerne falder sammen (muligvis med det modsatte tegn).

I det generelle tilfælde skal begge sider af den første ligning ganges med (-d), og begge sider af den anden ligning med a. Som et resultat får vi:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Tilføjelse af de resulterende ligninger opnår vi:

-bdu + aeu = -cd + af, hvorfra vi får udtrykket for variablen y:

y = (af-cd) / (ae-bd), ved at erstatte udtrykket for y i enhver ligning i systemet, får vi:

øks + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

fra denne ligning finder vi den anden ukendte:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Et eksempel. Løs ligningssystemet ved at tilføje eller trække:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multiplicer den første ligning med (-1) og den anden med 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Ved at tilføje (term for termin) begge ligninger opnår vi:

11y = 11

Hvor får vi:

y = 1

Vi erstatter den opnåede værdi for y i en hvilken som helst af ligningerne, for eksempel i den anden, får vi:

3x + 9 = 15, hvorfra

x = 2

Svar: x = 2, y = 1.