Sådan finder du området for et cirkulært segment

Et af de almindelige geometriske problemer er at beregne arealet af et cirkulært segment - den del af en cirkel afgrænset af et akkord og den tilsvarende akkord for en bue i en cirkel.

Området med det cirkulære segment er lig med forskellen mellem området for den tilsvarende cirkulære sektor og området af trekanten dannet af radierne for det tilsvarende segment af sektoren og akkorden, der afgrænser segmentet.

Eksempel 1

Længden af ​​akkorden, der sammentrækker en cirkel, er lig med værdien af ​​en. Gradens mål for buen svarende til akkorden er 60 °. Find området med det cirkulære segment.

beslutning

En trekant, der er dannet af to radier og en akkord, er ensartede, så højden, der trækkes fra toppen af ​​den centrale vinkel til siden af ​​den trekant, der er dannet af akkorden, vil også være halvering af midtervinklen, halvere den og medianen, halve akkorden. Når vi kender, at sinus af vinklen i en retvinklet trekant er lig med forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, kan vi beregne radius:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Området af sektoren, der svarer til en given vinkel, kan beregnes ved følgende formel:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Arealet af trekanten, der svarer til sektoren, beregnes som følger:

S ▲ = 1/2 * ah, hvor h er højden trukket fra toppen af ​​den midterste vinkel til akkorden. Ved den Pythagoreiske teorem er h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Følgelig er S ▲ = √3 / 4 * a².

Arealet af segmentet, beregnet som Sseg = Sc - S ▲, er lig med:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Ved at udskifte en numerisk værdi i stedet for a, kan du nemt beregne den numeriske værdi af segmentområdet.

Eksempel 2

Cirkelens radius er lig med a. Gradens mål for lysbuen svarende til segmentet er 60 °. Find området med det cirkulære segment.